Arranjo e combinação - Como saber quando utilizar arranjo, combinação e permutação?

Aula ministrada pela professora Luciana Scarin no dia 23 de outubro de 2018, nas dependências do centro universitário uniamérica, a aula trazia o tema Arranjos, combinação e permutação, abaixo está descrito um pouco da aula realizada.  

 Permutação

Para diferenciar se é arranjo permutação ou combinação vocês têm que fazer a seguinte pergunta:
O número de objetos é igual ao número de posições?

Se a resposta for sim, então você utiliza permutação

p=n!

Exemplo:
Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04,10,26,37,47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?

O número de objetos é igual ao número de posições? Sim

Temos 6 números e 6 posições

 p=6!=6.5.4.3.2.1=720.

 

Arranjo ou Combinação.

Agora fazendo a pergunta novamente:

O número de objetos é igual ao número de posições?
Se a resposta for não, então você faz a seguinte pergunta:

A ordem importa? 

Se a resposta for sim, você utiliza arranjo.

Se a resposta for não, você utiliza combinação.

Exemplos:

1) Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

Fazendo a pergunta:

O número de objetos é igual ao número de posições?
Não, porque temos 10 objetos e 6 posições.

A segunda pergunta: a ordem importa?
Sim, note que a sequência 1,3,5,6,7,9 é diferente da sequência 9,7,6,5,3,1. Logo vamos utilizar arranjo, ou seja:

An,p=n!(n−p)!

N é o número de objetos, ou seja, n=10. E p o número de posições, ou seja, p=6. Então temos:
A10,6=10!(10−6)!=10!4!=10.9.8.7.6.5.(4!)4!=10.9.8.7.6.5=151200 possibilidades existentes.

Exemplo 2) Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.

Fazendo a pergunta:

O número de objetos é igual ao número de posições?
Não, porque temos 8 cobaias e vamos escolher 3.

A segunda pergunta: a ordem importa?
Não, ordem não importa, note que se numerarmos as cobaias de 1 a 8. E escolhermos a cobaia 2, 4, e 5 é a mesma coisa que escolher a cobaia 4, 5 e 2. Logo é uma combinação onde o n que é o número de elementos é 8 e p que é o número de elementos a serem escolhido é 3.
 

Cn,p=n!(n−p)!p!, como n=8 e p=3 temos:
C8,3=8!(8−3)!3!=8.7.6.5!5!3.2.1=8.7.63.2.1=3366=56 maneiras.